Apresentação Histórico Explorando Exercitando

  Exercitando

Para tratar da questão do início e término do horário de verão, vamos determinar uma função matemática que descreva a duração dos dias no decorrer do ano na cidade de Curitiba, PR. Esta duração é dada como na Tabela 1, onde apresentamos os dias do ano (espaçados de 10 em 10) e o horário do nascer do sol e do pôr do sol (ocaso) para estes dias.

Tabela 1 – Duração dos dias na cidade de Curitiba, PR (2009)

Fonte: Weather

Nesta tabela a duração dos dias, dada pela diferença entre o horário do ocaso e o horário do nascer do sol, é dada em horas e minutos. Para o dia 01/01, por exemplo, a duração do dia é 20h 11min – 06h 30min = 13h 41min.

Para fazer uma abordagem matemática para o problema, precisamos transformar essa quantidade de tempo dada em horas e minutos em um número real que dê a duração em horas. Como fazer?

Basta associarmos a quantidade de minutos — neste caso 41 — à quantidade em horas. Ou seja, resolvemos:

Portanto, a duração do dia de 13h 41min corresponde a aproximadamente 13,68 horas.

Procedendo desta maneira com os dados da Tabela 1, obtemos a Tabela 2.

Fonte: Weather

Para encontrar uma função que descreva esta duração do dia definimos as variáveis:

t: tempo – corresponde à variável associada aos dias do ano em que se conhece a duração do dia

D(t): a duração do dia – dada em horas

Considerando estas variáveis, podemos representar os dados da coluna 3 (tempo t) e da coluna 14 (duração do dia D(t)) da tabela 2 no plano cartesiano t X D.

Tabela 2 – Duração dos dias na cidade de Curitiba no ano de 2009 dada em horas

Fonte: os autores

Esse gráfico corresponde ao que chamamos de curva de tendência dos dados relativos à duração do dia na cidade de Curitiba no ano de 2009.

Sugestão: Para desenvolvimento do gráfico, pode-se utilizar o software Curve Expert 1.3., que ajusta curvas e gráficos para Windows. As coordenadas (x,y) dadas podem ser modeladas utilizando um conjunto de ferramentas de modelos de regressão linear, modelos de regressão não linear, interpolação, ou splines.

Podemos considerar que a duração do dia nos diferentes meses do ano é um fenômeno periódico, ou seja, trata-se de um fenômeno que se repete todos os anos (com uma variação muito pequena de um ano para outro).

Levando em consideração esta análise e a tendência observada no gráfico anterior, podemos pensar em uma função trigonométrica – mais especificamente uma função cosseno – para representar a duração dos dias no decorrer do ano.

Observação: Para a construção dessa função, é adequado que sejam realizadas simulações gráficas das funções trigonométricas usando o simulador Funções Periódicas.

  Simulador – Título: Funções Periódicas

No simulador Funções Periódicas, os gráficos das funções seno e cosseno podem ser analisados e discutidos por meio da observação, sobre o horário de verão e as diferentes durações da claridade dos dias do ano na cidade de Curitiba. As atividades desenvolvidas pretendem estimular a geração de diferentes gráficos de Funções Trigonométricas e analisar as características dessas funções.

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Para determinar a função cosseno associada à duração dos dias apresentada na Tabela 2, devemos levar em conta as características e propriedades destas funções – como o período, a amplitude e a forma geral da função cosseno dada por:

em que A, B, C e D são números reais e parâmetros dessa função.

Como na nossa situação definimos as variáveis t e D(t), precisamos procurar os parâmetros da função:

em que A, B, C e D são números reais e parâmetros dessa função.

Vamos procurar este parâmetros em quatro etapas – uma etapa para cada parâmetro.

Etapa 1:

Qual é o período da função D(t) que estamos procurando?

O que é período de uma função?

Exemplo: A função f(t)=cos (t) tem período 2π e seu gráfico é:

Fonte: os autores

Sugestão:

a) Podemos fazer este gráfico usando o GeoGebra, software gratuito de geometria dinâmica que reúne recursos de geometria, álgebra e cálculo.

b) Podemos também construir este gráfico usando o simulador Funções periódicas.

  Simulador – Título: Funções Periódicas

No simulador Funções Periódicas, os gráficos das funções seno e cosseno podem ser analisados e discutidos por meio da observação, sobre o horário de verão e as diferentes durações da claridade dos dias do ano na cidade de Curitiba. As atividades desenvolvidas pretendem estimular a geração de diferentes gráficos de Funções Trigonométricas e analisar as características dessas funções.

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Temos que o período da função

Conclusão: o parâmetro associado ao período é o coeficiente de t e a relação é:

Mas e no fenômeno em estudo, qual é o período?

O fenômeno em estudo se repete a cada ano. Neste espaço de tempo, t varia de 0 até 35 – o que significa que o período é p=36.

Assim, considerando a função

cujo gráfico é:

Fonte: os autores

Sugestão:

a) Podemos fazer este gráfico usando o GeoGebra, software gratuito de geometria dinâmica que reúne recursos de geometria, álgebra e cálculo.

b) Podemos também construir este gráfico usando o simulador Funções periódicas.

  Simulador – Título: Funções Periódicas

No simulador Funções Periódicas, os gráficos das funções seno e cosseno podem ser analisados e discutidos por meio da observação, sobre o horário de verão e as diferentes durações da claridade dos dias do ano na cidade de Curitiba. As atividades desenvolvidas pretendem estimular a geração de diferentes gráficos de Funções Trigonométricas e analisar as características dessas funções.

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Etapa 2:

A função que construímos até o momento, tem valor mínimo -1 que ocorre para t=18.

No entanto, observando os dados da Tabela 2 podemos perceber que o menor dia do ano tem a duração de 10,55 horas e ocorre em 21 de junho que corresponde a t=17.

Isto significa que precisamos mudar a função de modo a obter uma que tenha valor mínimo para t=17.

Ou seja, precisamos encontrar B de modo que

Para que isso aconteça devemos ter

Portanto, em relação à função que estamos procurando para descrever a duração dos dias, já sabemos que:

No gráfico a seguir podemos visualizar estas duas funções.

Fonte: os autores

Sugestão:

a) Podemos fazer este gráfico usando o GeoGebra, software gratuito de geometria dinâmica que reúne recursos de geometria, álgebra e cálculo.

b) Podemos também construir este gráfico usando o simulador Funções periódicas.

  Simulador – Título: Funções Periódicas

No simulador Funções Periódicas, os gráficos das funções seno e cosseno podem ser analisados e discutidos por meio da observação, sobre o horário de verão e as diferentes durações da claridade dos dias do ano na cidade de Curitiba. As atividades desenvolvidas pretendem estimular a geração de diferentes gráficos de Funções Trigonométricas e analisar as características dessas funções.

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Etapa 3:

Conforme podemos observar no gráfico anterior, os valores da função

variam no intervalo [-1, 1].

O intervalo que contém a imagem da função está relacionado com a amplitude da função.

Mas como determinar a amplitude?

Temos que:

Para funções do tipo y = a cos x, com a > 0, os valores das imagens passam a pertencer ao intervalo [-a, a] e a amplitude é dada por a.

Portanto, a amplitude da função

é 1.

Observação: O simulador Funções Periódicas permite construir gráficos de diferentes funções trigonométricas e identificar no gráfico a amplitude dessas funções.

  Simulador – Título: Funções Periódicas

No simulador Funções Periódicas, os gráficos das funções seno e cosseno podem ser analisados e discutidos por meio da observação, sobre o horário de verão e as diferentes durações da claridade dos dias do ano na cidade de Curitiba. As atividades desenvolvidas pretendem estimular a geração de diferentes gráficos de Funções Trigonométricas e analisar as características dessas funções.

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Mas como é a amplitude da função que estamos procurando?

Para obter a amplitude da função pretendida, levamos em conta os dados que temos do menor e do maior dia do ano na Tabela 2:

• O mínimo da função, corresponde ao dia 21 de junho é D(17)=10,55 horas

• O máximo da função, corresponde ao dia 21 de dezembro é D(35)=13,73 horas

• A imagem está no intervalo [valor máximo , valor mínimo]= [13.73, 10.55] e a diferença é 13,73 – 10,55 = 3,18.

Portanto, a amplitude da função que estamos procurando é aproximadamente 1,59.

Logo nossa função é

e o gráfico é a figura a seguir:

Fonte: os autores

Sugestão:

a) Podemos fazer este gráfico usando o GeoGebra, software gratuito de geometria dinâmica que reúne recursos de geometria, álgebra e cálculo.

b) Podemos também construir este gráfico usando o simulador Funções periódicas.

  Simulador – Título: Funções Periódicas

No simulador Funções Periódicas, os gráficos das funções seno e cosseno podem ser analisados e discutidos por meio da observação, sobre o horário de verão e as diferentes durações da claridade dos dias do ano na cidade de Curitiba. As atividades desenvolvidas pretendem estimular a geração de diferentes gráficos de Funções Trigonométricas e analisar as características dessas funções.

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Etapa 4:

Podemos observar que os valores da função

variam entre -1,59 e 1,59; ou seja, estão no intervalo [-1,59; 1,59].

No entanto, os dados sobre a duração dos dias na tabela 2 e mostram que o dia mais longo do ano tem duração de 13,73 horas e o dia mais curto tem duração de 10,55 horas. Logo a função deve variar no intervalo [10,55; 13,73].

É necessário, portanto deslocar o gráfico em 13,73 – 1,59 =12,14 unidades para cima.

Portanto a expressão da função que procuramos é

cujo gráfico está representado a seguir.

Fonte: os autores

Na Tabela 3 está uma comparação entre os dados da Tabela 2 e aqueles obtidos com a função trigonométrica que construímos (valores estimados).

Tabela 3 – Comparação entre a duração do dia dada e observada

Observação: O valor estimado pelo modelo que consta na colunas 2 e na coluna 4 podem ser determinados com o auxílio de uma planilha de cálculo acessível aos alunos.

• Como essa função pode ser usada para tratar do horário de verão?

Os dias do início e término do horário de verão correspondem àqueles em que a variação da duração do dia cresce mais lentamente (início) ou diminui mais lentamente (término).

Em outras palavras, esses dias correspondem àqueles em que a duração do dia passa a ser maior que a média anual (início) ou o menor que a média anual (término).

Para calcular a média anual, tomamos o maior e o menor dia e calculamos sua média, ou seja, (13,73 + 10,55): 2 = 12,14. Assim, para acharmos as datas do início e término do horário deverão, basta acharmos os valores de t, para os quais D(t)=12,14. (Ver gráfico a seguir).

Portanto, resolvendo, obtemos t=8 ou t=26, que correspondem, respectivamente, a 21/03 e 21/09 na Tabela 1 e seriam, portanto, as datas ideais para o término e o início do horário de verão.

Fonte: os autores

Na prática, essas datas servem apenas como referência, pois ano a ano as datas de início e término do horário de verão podem variar em função de interesses políticos, econômicos, etc.

Além disso, a duração dos dias varia também para diferentes regiões do Brasil, e as datas de início e término do horário de verão servem para o Brasil todo.


Equipe Manual do Professor